无线通信第一章：无线信道

2021-10-21

无线通信笔记

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1 从物理模型开始

1.0 概念

无线通信主要受两个影响：

衰减：H信道
干扰：n噪声

H^{-1}可以实现，但是n难以消除

衰落

大尺度衰落：主要由大型障碍物阴影衰落和信号的路径损耗造成，当移动台运动距离与小区尺寸相当时，会出现与频率无关的大尺度衰落。
小尺度衰弱：多条信号路径的相长相消干扰造成，当空间尺度与载波波长相当时（相对距离较小），出现小尺度衰落，因此小尺度衰落与频率相关，比如多径效应、多普勒效应。

一般基站的规划之类问题与大尺度衰落有关，可靠高效通信系统设计更考虑小尺度衰弱。

区分多径效应和多普勒效应

多径效应：源信号到达接收机的路径多条

多普勒效应：接收机与发射机的相对运动，导致接收到的信号发生频偏

可以看出发生多普勒效应的时候，就注定了多径效应也会存在！

传播方式

直射：LOS-light of sight，视距传播，无遮挡的自由空间，如卫星通信
反射：reflection，物体尺度大于波长，如短波通信（大气电离层）
散射：scatter，电磁波照射到比载波波长小的物体上，发射出多路不同的较弱电磁波，如对流层散射信道
绕射：diffraction，照到物体不规则突出表面边缘反射，产生多个反射，如地波信道
透射：频率越高，穿透能力越差

噪声

外部噪声
- 近地噪声：天气
- 太阳系噪声，如日凌现象（所以不要把天线直射太阳）
- 宇宙噪声等
内部噪声
- 开关、低噪放、量化误差
- 热噪声（噪底），由实验器材、温度等决定，P_0=kTB，k-玻尔曼常数 $1.38e^{-23}J/K$
  
  20MHz,20℃(293.15K)下接收机前端热噪声功率：
  
  \begin{aligned}P_0&=1.38e^{-23}\times 293.15 \times 20e^{6}\\&\approx 8.09e^-14W\\&\approx-100.92dBm\end{aligned}
  
  工业实用：
  20℃，1Hz，-174dBm
  20℃，1MHz，-114dBm
  20℃，100MHz，-94dBm
白噪声：对各种噪声分布后按照中心极限定理的建模

1.1 自由空间

1.1.1 固定天线

发射天线对于正弦信号\cos 2 \pi ft的远电场响应表示为

E_s(f, t,(r, \theta, \psi))=\frac{\alpha_{s}(\theta, \psi, f) \cos 2 \pi f(t-r / c)}{r}

(r, \theta, \psi)是空间电场测量点u，r是天线到点u的距离，\theta和\psi是天线到u的垂直角度和水平角度，c是光速，\alpha_{s}(\theta, \psi, f)是天线以频率 f 在方向(\theta,\psi)的辐射方向图，包含了天线损耗的标量因子。电场相位随fr/c变化，对应光速辐射的时延。
可见距离r增大，电场按照r^{-1}减小，自由空间每平方米电磁波功率按照r^{-2}减小。（注意是自由空间，如果有障碍物就是另外一回事了）

在u点有一副接收天线，假设噪声不存在，对于上述发射天线正弦信号的接收波形为：

E_r(f, t,(r, \theta, \psi))=\frac{\alpha(\theta, \psi, f) \cos 2 \pi f(t-r / c)}{r}

\alpha(\theta, \psi, f)是发射天线和接收天线在给定方向上的天线方向图之积。不妨把上述模型看作信道：

H(f):=\frac{\alpha(\theta, \psi, f) e^{-j 2 \pi f r / c}}{r}

接收信号写作E_r(f,t,u=\mathcal{R}[H(f)e^{j2\pi ft}]，注意也就是说对于确定点 u，固定天线自由空间信道可以看作 LTI 信道。但是当存在障碍物或者相对运动时，时不变性不一定成立了。

1.1.2 运动天线

接收天线以速度v移动。接收天线信号修正为：

E_{r}\left(f, t,\left(r_{0}+v t, \theta, \psi\right)\right)=\frac{\alpha(\theta, \psi, f) \cos 2 \pi f\left[\left(1-\frac{v}{c}\right) t-\frac{r_{0}}{c}\right]}{r_{0}+v t}

这时信道不可以看作 LTI 信道了。但是如果忽略上式中分母的时变衰减，则可以看作在频率f平移了-fv/c时的系统函数的信道。

自由空间传播损耗

LOS 的传播损耗：

P_R=\frac{{\lambda}^2}{(4\pi)^2d^2} P_TG_TG_R

\lambda-波长，d-距离，T-发射天线，R-接收天线，G-增益，P功率。记路径损耗为：P_{loss}=\frac{{\lambda}^2}{(4\pi)^2d^2}

举例：2GHz 电磁波，传播 1km 路径损耗计算

\begin{aligned} Ploss&=10log(\frac{9e10^{16}}{16\pi^2\times 1e^6\times4e10^{18}})\\ &\approx 10log(2^{-6}e^{-8})\\ &\approx -80-3\times 6\\ &=-98dB \end{aligned}

1.2 单一垂直反射面

1.2.1 固定天线

假定墙面非常大，来自墙面的反射波的强度等于墙面距离相等初的自由空间电波强度（即反射过程无能量被反射面吸收）。

接收信号时两个频率为f的电波相加

E_{r}(f, t)=\frac{\alpha \cos 2 \pi f\left(t-\frac{r}{c}\right)}{r}-\frac{\alpha \cos 2 \pi f\left(t-\frac{2 d-r}{c}\right)}{2 d-r}

电波的相位差为：

\Delta \theta=\left(\frac{2 \pi f(2 d-r)}{c}+\pi\right)-\left(\frac{2 \pi f r}{c}\right)=\frac{4 \pi f}{c}(d-r)+\pi

若相位差 $2\pi整数倍，波长相长叠加，接收信号强；相位差为\pi$ 的奇数倍，电波相消叠加，接收信号弱。

固定频率，将\Delta\theta看作关于r的函数，从波峰到波谷之间的距离称为#相干距离#（coherence distance）：

\Delta x_c=\frac{\lambda}{4}

简单证明：

\\\begin{aligned} \Delta\theta(r_1)-\Delta\theta(r_2)&=\pi \\\frac{4 \pi f}{c}(d-r1+r2)&=\pi\\d-r1+r2&=\frac{\lambda}{4}\end{aligned}

当距离小于#相干距离#时，特定时刻的接收信号变化不明显。

固定距离，将\Delta\theta看作关于f的函数，从波峰到波谷的频率变化的倒数的一半称作#时延扩展#(delay spread)：

T_d=\frac{2d-r}{c}-\frac{r}{c}

称 $1/T_d$ 为#相干带宽#。

简单证明：

\\\begin{aligned} \Delta\theta(f_1)-\Delta\theta(f_2)&=\pi \\ \frac{4\pi(d-r)}{c}(f_1-f_2)&=\pi\\ (f_1-f_2)^{-1}&=4\frac{(d-r)}{c}\\ (f_1-f_2)^{-1}&=2(\frac{2d-r}{c}-\frac{r}{c}) \end{aligned}

#时延扩展#是两条信号路径的传播时延之差。**如果如果信号频率该变量远小于 $1/T_d$，则特定时刻接收信号变化不明显。**

1.2.2 运动天线

假设接收天线在时刻 0 位于r_0，以速度v运动，接收信号的电波为

E_{r}(f, t)=\frac{\alpha \cos 2 \pi f\left[\left(1-\frac{v}{c}\right) t-\frac{r_{0}}{c}\right]}{r_{0}+v t}-\frac{\alpha \cos 2 \pi f\left[\left(1+\frac{v}{c}\right) t+\frac{r_{0}-2 d}{c}\right]}{2 d-r_{0}-v t}

第一项频率为f(1-\frac{v}{c})，多普勒频移D_1为-f\frac{v}{c}；第二项频率为f(1+\frac{v}{c})，多普勒频移D_2为+f\frac{v}{c}。#多普勒扩展#为

D_s\triangleq D_2-D_1=2f\frac{v}{c}

举例：移动台以 60km/h 速度移动，载波频率 900MHz,则多普勒扩展为 $2\times 9e8 \times \frac{60e3}{3600}\div3e9=100Hz$

像之前一样，在固定距离的时候，考虑相位变化，从波峰到波谷经历的时间为称为#相干时间#（coherenc time）：

T_c=\frac{c}{4fv}

#相干时间#可以看作多普勒频移达到最大的时候来衡量，理解如下。

不妨忽略掉分母的差异，这样信号可以看作两个正弦信号乘积：

E_{r}(f, t) \approx \frac{2 \alpha \sin 2 \pi f\left[\frac{v}{c} t+\frac{\left(r_{0}-d\right)}{c}\right] \sin 2 \pi f\left[t-\frac{d}{c}\right]}{r_{0}+v t}

其中一个信号信号输入频率为 f，另一个为fv/c（一半的多普勒扩展）。即对频率为 f 的信号响应式另一个频率为多普勒扩展的正弦信号，也就是说每隔\frac{1}{2D_s}的时间（变化 1/4 的波长），信号将严重衰减。

反射会存在方向

在反射的过程中，方向往往并非垂直反射。

这种情况下注意：随着 r 的逐渐增大，路径长度之差相对于波长而言变得非常小，这两路电路将彼此抵消，接收端电波按照r^{-2}规律衰减，接收功率按r^{-4}衰减。这种情况在基站安装到路面上的郊区尤为突出。

1.3 阴影衰落

当发射机和接收机存在障碍物，障碍物在散射信号的同时还要吸收功率，因此功率的衰减远远快于r^{-2}。基站和移动台之间能够可靠通信的最大距离称为 cell 的覆盖。
虽然看似远距离下信号路径损耗颇为严重，但是这个特性也限制了 cell 的覆盖范围，从而减少了相邻 cell 的干扰，这也是通信蜂窝（cell）系统的名称来源：信号随距离的快速衰落使得近距离上的频率复用成为可能。

障碍物导致的衰落称为阴影衰落。阴影衰落的影响比多径衰落在时间尺度上慢得多。

非自由空间的传播损耗

P_{R}= \begin{cases}\frac{\lambda^{2} P_{T} G_{T} G_{R}}{(4 \pi)^{2}} \times \frac{1}{d^{\alpha_{N}}}, & d<d_{b} \\ \left(h_{T} h_{R}\right)^{2} P_{T} G_{T} G_{R} \times \frac{1}{d^{\alpha_{F}}}, & d \geq d_{b}\end{cases}

d_b是传播断点，d_{b}=4 \pi h_{T} h_{R} \frac{1}{\lambda}，d是传播距离。传播断点内衰减因子\alpha_N一般取 2；传播断点外的衰减因子\alpha_F取 3~5。

1.4 总结

在移动通信系统中，我们更关注多径效应下的信道，如果全按照物理模型来推演，当多障碍物、多反射面的运动模型将极其复杂，涉及大量的电磁场理论。为了简化模型，应该从建立信道-信号输出/输出模型入手。

注意多径效应和多普勒效应可以同时存在。在后面会给出#相干距离#、#时延扩展# （#相干带宽#）、#多普勒扩展#、#相干时间#的信道模型与影响。

2 多径衰弱信道的输入输出模型

2.1 线性时变系统

假设对于第 i 条路径，信号的衰减a_i和传播时延\tau_i与频率无关（实际上衰减和传播时延是频率的慢变函数）,则多径信道可以看作每个路径信号的叠加：

y(t)=\sum_i{a_i(t)x(t-\tau_i(t))} \tag{1-1}

注意：虽然假设单路径信道与频率无关，对于总信道而言，响应依旧是随频率变化的。

将上式变成常见的信道模型：

y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau, t) x(t-\tau) d \tau \tag{1-2}

由"（1-1）"¹和"（1-2）"²式知，多径信道的冲激响应为：

h(\tau, t)=\sum_{i} a_{i}(t) \delta\left(\tau-\tau_{i}(t)\right) \tag{1-3}

当环境稳定的特殊情况下（信道变化的时间尺度比固定时刻冲激响应的#时延扩展#要长得多），可以视作 LTI 信道，"（1-3）"³可以看作固定时刻t的冲击响应重写为：

h(\tau)=\sum_{i} a_{i} \delta\left(\tau-\tau_{i}\right) \tag{1-4}

考虑运动场景下的多径效应：由单面反射墙实例可知：\tau_i(i)=v_i/c，v_i是第i条路径增长的速度（物体运动导致路径长度的变化），因此第i条路径的多普勒频移为-f\tau_i(t)。

2.2 基带等效模型

载频上的调制信号频谱S(f)带宽在[f_c-W/2,f_c+W/2]内，定义复基带等效信号与调制频带的频谱关系为：

\begin{aligned} S_{b}(f)&=\left\{\begin{array}{cc} \sqrt{2} S\left(f+f_{c}\right) & f+f_{c}>0 \\ 0 & f+f_{c} \leq 0 \end{array}\right. \\ \sqrt{2}S(f)&=S_b(f-fc)+S_b^*(-f-f_c) \end{aligned}

复基带信号可以看作频带的解析信号s_z\triangleq [\delta(t)+j(\frac{1}{\pi t})]*s(t)=s_L(t)e^{j2\pi f_c t}的复包络分量\frac{s_L}{\sqrt{2}}，或者说频带的调制信号是复基带信号调制载频后的实信号s(t)=\sqrt{2}\mathcal{R}[s_b(t)e^{j2\pi f_c t}]。

因此基带等效信道为：

y_{b}(t)=\sum_{i} a_{i}^{b}(t) x_{b}\left(t-\tau_{i}(t)\right) \tag{1-5}

其中a_{i}^{b}(t)=a_i(t)e^{-j2\pi f_c\tau_i(t)}，基带等效冲激响应为：

h_{b}(\tau, t)=\sum_{i} a_{i}^{b}(t) \delta\left(\tau-\tau_{i}(t)\right) \tag{1-6}

从"（1-5）"⁴和"（1-6）"⁵可以看出：基带出说为各路径基带输入的时延副本之和，第i项幅度为第i条路径的响应幅度。当a_{i}^{b}(t)的路径时延\tau_i(t)变化\frac{1}{4f_c}时，相位改变\frac{\pi }{2}——如果路径长度以速度v变化那么相位变化所需时间为\frac{c}{4fv}，这正是"之前"⁶计算的#相干时间#。相干时间T_c与多普勒频移D（不是多普勒扩展）关系为:

T_c=\frac{1}{4D}

注意，h_{b}(\tau, t)的傅里叶变化H_{b}(f, t)就是H(f+f_c;,t)，即原系统频率响应平移载波频率后的结果。

2.3 离散时间基带模型

再将连续基带等效模型转为离散时间信道：假设输入波形带宽为 W，基带等效带宽为 W/2，依据采样定理可以表示为：

x_b(t)=\sum_nx[n]sinc(Wt-n) \tag{1-7}

结合"(1-5)"⁴和"（1-7）"⁷，有：

y_{b}(t)=\sum_{n} x[n] \sum_{i} a_{i}^{b}(t) \operatorname{sinc}\left(W t-W \tau_{i}(t)-n\right) \tag{1-8}

对基带奈奎斯特采样时间为\frac{1}{W}，即y[m]=y_b(\frac{m}{W})，带入(1-8)展开来写

\begin{aligned} y[m]&=\sum_{n} x[n] \sum_{i} a_{i}^{b}(m / W) \operatorname{sinc}\left[m-n-\tau_{i}(m / W) W\right]\\ &\underset{l=m-n}{=}\sum_{\ell} x[m-\ell] \sum_{i} a_{i}^{b}(m / W) \operatorname{sinc}\left[\ell-\tau_{i}(m / W) W\right]\\ &=\sum_l{h_l[m]x[m-l]} \end{aligned} \tag{1-9}

其中h_{\ell}[m]\triangleq \sum_{i} a_{i}^{b}(m / W) \operatorname{sinc}\left[\ell-\tau_{i}(m / W) W\right]，可以看作第l个（复）信道的滤波器抽头。参考"(1-6)"⁵的时不变特殊情况下，"(1-9)"⁸简化为：

h_{\ell}=\sum_{i} a_{i}^{b} \operatorname{sinc}\left[\ell-\tau_{i} W\right] \tag{1-10}

LTI 情况下第l个抽头可以理解为"(1-6)"⁵卷积 sinc 的第\frac{l}{W}个样本，

传播路径i和抽头等效信道l不是一个概念！第l个抽个可能由多个路径的增益叠加而成。

抽头数与路径时延

回顾公式"(1-9)"⁸可见，当系统带宽W为几百千兆到几兆，路径时延都位于几个 sinc 函数的峰值范围内，蜂窝信道最多 4-5 个信道滤波器抽头就够表示了。相反如当超带宽技术，信道的抽头数多达几百个。
在研究蜂窝系统的调制与检测时，接收机通过发射波形和接收波形进行估计估计出信道滤波器抽头的值，这正是建模为信道滤波器抽头模型后的好处！（不用去计算繁琐的物理无线电模型）

多普勒扩展影响

因为多普勒扩展，输出信号y_b(t)通常大于输入信号x_b(t)的带宽，因此输出样本{y[m]}不能完全表示出波形。然而由于多普勒扩展通常比信号带宽小，所以在实际中通常忽略这一问题。

2.4 数字通信系统系统框图

IQ 两路复码元-> 调制 sinc 脉冲-> 上变频-> 过信道-> 下变频-> 低通滤波->\frac{m}{W}时刻采样。

实际中常用升余弦脉冲等其他脉冲取代 sinc 脉冲，因为 sinc 脉冲时间衰减特性相当差，且容易受到同步误差的影响。

对于噪声可以建模为零均值加性高斯白噪声（AWGN），且为#循环对称复高斯#随机变量，即实部、虚部为独立同分布的复高斯信号满足循环对称性：对于任意的相位\phi，e^{j\phi}X与X服从相同分布。记为X\sim \mathcal{CN}(0,\sigma^2)，\sigma^2=E[|X|^2]。
AWGN 的假设实质上意味着主要的噪声源位于接收机，或者说噪声源是进入接收机与接收信号路径相互独立的辐射。

2.5 讨论：自由度

每个码元都是一个复数，称其表示的一个（复）维数或者说一个自由度。频带[-W/2,W/2]T 时间内内采样 W 个样本，即复信号的信号空间维度近似 WT。
因此定义#信道自由度#为接收信号空间的维数。

3 信道分类与统计模型

3.1 重要概念

#多普勒扩展#与#相干时间#

在"一、2.2"⁹提过第i条路径上相位发生重大变化的时间间隔为\frac{1}{4Di}，D_i=f_c\tau_i'(t)是第 i 条路径的多普勒频移。不妨像之前一样定义#多普勒扩展#：对第l个抽头贡献大的路径中的多普频频移最大差（理论上讲，对于不同的抽头，多普勒扩展是不同的），记作

D_{s}:=\max _{i, j} f_{c}\left|\tau_{i}^{\prime}(t)-\tau_{j}^{\prime}(t)\right| \tag{1-11}

路径从一个抽头转向下一个抽头消耗的时间远大于抽头相位重大变化时间，定义#相干时间#为抽头相位发生快速变化\frac{\pi}{2}的时间，可知：

T_c\approx\frac{1}{4D_s} \tag{1-12}

有的时候将\frac{\pi}{4}看作一次快速变化，分母取 8。有的时候直接分母取 1，因为#相干时间#与#多普勒扩展#之间的关系是互逆的。

相干时间得典型间隔为 10ms 左右。

#时延扩展#与#相干带宽#

正如"一、1.2.1"¹⁰中的概念，定义最长路径与最短路径的传播时间差为时延扩展：

T_{d}:=\max _{i, j}\left|\tau_{i}(t)-\tau_{j}(t)\right| \tag{1-13}

#时延扩展#控制了#相干带宽#，#相干带宽#表明信道随频率变化的快慢。将"一、1.2.1"¹⁰的概念推广到任意数量的路径，#相干带宽#Wc为：

W_c=\frac{1}{2T_d} \tag{1-14}

注意#相干时间#与#相干带宽#的区别：

#相干时间#表明了信道随时间变化的快慢
#相干带宽#表明了信道随频率变化的快慢

时延扩展会带来 ISI 码间串扰。

3.2 信道分类

3.2.1 快衰落与慢衰落

#相干时间#T_c小于应用的时延需求，称信道快衰落
#相干时间#T_c大于应用的时延需求，称信道为慢衰落

理解：

快衰弱和慢衰落是相对应用时延需求而言的，不是孤立地说信道是快衰落或者慢衰落。
相干时间反应的是信道抽头相位重大变化的时间，如果应用的时延需求比信道抽头变化的时间小，对于短时间内通信而言信道变化相对得慢；如果信道变化比应用的时延需求小，对于短时间内通信而言信道变化相对得快。

3.2.2 频率选择性与平坦衰落

#相干带宽#W_c远小于系统输入带宽，称信道为频率选择性
#相干带宽#W_c大于系统输入带宽，称信道为平坦衰落

理解：

频率选择性和平坦衰落是相对系统输入带宽而言的，不能孤立地说信道是频率选择性或平坦衰落
频率在#相干带宽#内的信号过信道后变化慢，在#相干带宽#外的信号过信道后变化快。

平坦信道：时延扩展T_d小于码元时间 $1/W$，采用单个信道滤波器抽头就足够表示信道了。

3.2.3 欠扩展

T_d\ll T_c为欠扩展信道，这是在蜂窝通信中是常见的。

时延扩展远小于相干时间，因为一个 cell 内的覆盖范围为几公里，不同的路径长度相差多在百米级，路径时延差在微秒级。而且随着微基站，cell 的覆盖范围越来越小，T_d也会越小。

3.2.4 总结

注意，不是说信道是快衰落就意味着信道不能是频率选择性，#相干时间#和#相干带宽#同时作用于系统信号才能分析信道的特性。
其次分析信道的好坏并不是说快衰落不好、慢衰落好，平坦衰落好、频率选择性不好。相反利用信道的特性采用不同的通信技术实现可靠的通信，比如在快衰落信道中，能够通过多次信道衰弱发射编码码元，而在慢衰落信道中则不能。

3.3 信道抽头统计模型

3.3.1 瑞利衰落

大量小尺寸反射体（或者反射体数量非常少的蜂窝系统），各路径独立，路径增益建模为循环对称随机变量，各路径之和贡献为抽头，根据中心极限定理：抽头h_l[m]\sim \mathcal{CN}(0,\sigma_l^2)。

注意：抽头函数与时刻 m 无关！

3.3.2 莱斯模型

存在视距路径（一条路径增益非常大，称为镜像路径），且同时还存在大量独立路径。这种情况下，至少有一个抽头可以建模为

h_{\ell}[m]=\sqrt{\frac{\kappa}{\kappa+1}} \sigma_{\ell} e^{j \theta}+\sqrt{\frac{1}{\kappa+1}} \mathcal{C} \mathcal{N}\left(0, \sigma_{\ell}^{2}\right)

第 1 项对应以均匀相位\theta到达的镜像路径,第二项对应大量与\theta互相独立的反射路径和散射路径之和。
\kappa是镜像路径能量与散射路径能量之比，\kappa越大说明信道的确定性越强（镜像路径能量越大）。

3.3.3 抽头自相关函数

R_{\ell}[n]:=\mathbb{E}\left\{h_{\ell}^{*}[m] h_{\ell}[m+n]\right\}

根据自相关函数的特性，R_l[0]与第l个抽头的能量成正比，#时延扩展#T_d 可以定义为：

T_d=\frac{1}{W}\sum_lR_l[0]

也可以将相干时间T_c定义为R_l[n]，n>0的最小值。

3.3.4 克拉克模型

常用的统计模型：发射机固定，接收机以速度v运动，每个路径上的波都经历了多普勒频移后四面八方同一时间到达，假定接收的功率服从均匀分布，且天线增益方向图为各向同性。

假定通信带宽远小于相干带宽，复基带信道可以用单抽头表示，抽头增益来自各个角度的相互独立基值之和，可以建模为平稳高斯过程。

y[m]=h_{0}[m] x[m]+w[m] \\ h_0[m]\sim \mathcal{CN}

多普勒扩展为D_s=2f_cv/c，基带等效功率谱密度为：

S(f)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2 a^{2}}{D_{s} \sqrt{1-\left(2 f / D_{s}\right)^{2}}} & -D_{s} / 2 \leq f \leq+D_{s} / 2 \\ 0 & \text { else } \end{array}\right.

其为自相关函数R_0[n]的傅里叶变换。一般定义相干时间是为n/W，即 R_0[n]=0.05R_0[0]。

理解：

克拉克模型得到的信道是瑞利模型 + 平坦衰落，抽头数为 1 且服从复高斯分布。
S(f)在最大多普勒频移以外为 0，又称多普勒谱。